Giám mục Giuse Bùi Công Trác sinh ngày 5 tháng 5 năm 1965 tại Đà Lạt, tỉnh Lâm Đồng, thuộc giáo xứ Chánh Toà Đà Lạt, giáo phận Đà Lạt.[9][10] Theo tư liệu cung cấp bởi Văn phòng Báo chí Tòa Thánh, ông sinh ngày 25 tháng 5 năm 1965 tại Sài Gòn.[1] Thân phụ ông là ông Giuse Bùi Văn Nhiếp, quê quán ở giáo họ Do Nha, giáo xứ Tràng Châu, phường Châu Sơn, Thành phố Phủ Lý, tỉnh Hà Nam, thuộc Tổng giáo phận Hà Nội.[cần dẫn nguồn], từng phục vụ chính quyền Việt Nam Cộng hòa.[11] Theo lời của giám mục Trác, thân phụ ông qua đời đã hơn 30 năm, trong vòng tay của ông.[12] Thân mẫu ông là bà Têrêsa Quan Thị Nhân (1930–2021), quê quán ở giáo xứ Sở Kiện, thị trấn Kiện Khê, huyện Thanh Liêm, tỉnh Hà Nam, thuộc Tổng giáo phận Hà Nội.[13] Song thân của ông hiện đều đã qua đời. Khi mới di cư vào Nam, ông bà sống tại giáo xứ Nghĩa Hòa, tỉnh Gia Định, sau này ông bà lên Đà Lạt sống và sinh ra ông.[14] Sau năm 1975, gia đình sinh sống tại giáo xứ Mẫu Tâm, giáo hạt Xóm Chiếu, Tổng giáo phận Thành phố Hồ Chí Minh.[11] Theo lời giám mục Trác công bố, ban đầu tên của ông được đặt là Tắc (theo thứ tự các người con trong gia đình Sơn-Hà-Xã-Tắc), song vì một số lý do nào đó mà tên ông sau này được đổi thành Trác.[3]

Cậu bé Bùi Công Trác ban đầu không có mong muốn đi theo con đường tu trì, tuy vậy, sau những tiếp xúc với những người khác, cậu cho rằng mình được Thiên Chúa mời gọi đi theo con đường này.[15] Bản thân giám mục Trác sau này cho rằng mình là dạng tu theo[11] do đi tu theo hai người bạn trước đi tìm hiểu việc tu trì (đều không đi theo con đường tu trì sau đó[16]), và ngạc nhiên vì tự cho rằng một người có sơ yếu lý lịch không tốt (theo quan điểm của chính quyền) được chấp thuận cho đi tu học. Cậu cũng có thời gian tham gia công tác trợ tá giáo lý viên và công tác thanh niên xung phong (do yêu cầu để được làm chủng sinh từ chính quyền[16]).[11] Ông là nghĩa tử của linh mục Phanxicô Xaviê Bùi Văn Minh (1943-2016). Sau khi linh mục Phanxicô Xaviê Bùi Văn Minh qua đời, Tổng Giám mục Phaolô Bùi Văn Đọc nhận ông làm nghĩa tử. [cần dẫn nguồn]

Bỏ dở chương trình đại học dù đang học dở dang,[16] từ tháng 10 năm 1993 đến tháng 7 năm 1999,[17] chủng sinh Giuse Bùi Công Trác tu học tại Đại chủng viện Thánh Giuse Sài Gòn, là chủng sinh khóa III của chủng viện này, chung với hai giám mục khác (tính đến thời điểm được bổ nhiệm chức giám mục) là Louis Nguyễn Anh Tuấn, Giuse Đỗ Quang Khang.[17][18] Khóa chủng sinh này cung cấp nhiều linh mục hoạt động trong các Uỷ ban của Hội đồng Giám mục Việt Nam, các chủng viện, dòng tu và các tòa giám mục, với các chủng sinh thuộc về năm giáo phận: Tổng giáo phận Thành phố Hồ Chí Minh, Giáo phận Xuân Lộc, Giáo phận Phú Cường, Giáo phận Mỹ Tho và Giáo phận Phan Thiết.[17] Với việc bổ nhiệm linh mục Phêrô Kiều Công Tùng làm Giám mục chính tòa Giáo phận Phát Diệm vào năm 2023, Giám mục Trác là một trong bốn giám mục xuất thân từ Khóa III Đại chủng viện này.[19]

Chủng sinh Bùi Công Trác được truyền chức phó tế bởi Tổng giám mục Gioan Baotixita Phạm Minh Mẫn[14] ngày 19 tháng 3 năm 1999.